آموزش ضرب ماتریس به همراه مثالهای کاربردی
ریاضی , مباحث درسی
آموزش ضرب ماتریس به همراه مثالهای کاربردی
سبحان محمدی
شهریور 5, 1405
شهریور 5, 1405
فهرست مطالب
ضرب یک عدد حقیقی در یک ماتریس
تقسیم یک عدد حقیقی در یک ماتریس
خواص مهم ضرب عدد در ماتریس
ضرب ماتریس سطری در ماتریس ستونی
آشنایی با ماتریسهای سطری و ستونی
ضرب ماتریس در ماتریس
جمع بندی
سوالات متداول
ماتریس، جدولی مستطیلی است که از اعداد حقیقی، نمادها یا عبارتهای ریاضی تشکیل شده و به صورت منظم در سطرها و ستونها چیده میشوند. هر یک از این اعداد یا عبارتها که خانههای ماتریس را پر میکنند، «درایه» نامیده میشوند. در واقع، درایه همان عنصر سازنده ماتریس است که موقعیت دقیق آن با شماره سطر و ستون مشخص میشود. ماتریسها ابزاری حیاتی در ریاضیات، علوم و مهندسی هستند و برای نمایش دادهها، حل دستگاه معادلات و انجام محاسبات گوناگون به کار میروند.
ضرب یک عدد حقیقی در یک ماتریس
برای ضرب یک عدد حقیقی در ماتریس A، آن عدد را در تمامی درایههای ماتریس ضرب میکنیم. به بیان ریاضی، میتوان نوشت:
A=[a ij ] m×n , r∈R⇒rA=r[a ij ] m×n =[ra ij ] m×n
به جواب کامل آمیرزا قدیمی جدید زبان سادهتر، وقتی میخواهید یک عدد حقیقی را در یک ماتریس ضرب کنید، این عدد در تکتک درایهها ضرب میشود؛ یعنی نباید فقط در یکی از اعضا ضرب شود، بلکه باید در تمام خانههای ماتریس اعمال گردد.
مثال:
مسئله: حاصل ضرب عدد حقیقی در ماتریس زیر را پیدا کنید.
اولین نفری باشید که از اخبار و اطلاعیههای مرتبط با پایه تحصیلیتان باخبر میشود!
تقسیم یک عدد حقیقی در یک ماتریس
برای تقسیم یک عدد حقیقی بر یک ماتریس، ابتدا آن عدد را معکوس یا وارونه میکنیم و سپس مانند ضرب یک عدد حقیقی در ماتریس عمل میکنیم.
یعنی:
توجه: این روش تنها برای تقسیم یک عدد حقیقی بر یک ماتریس است. تقسیم ماتریسها از رابطه زیر به دست میآید:
A ÷ B = A × (۱ ÷ B) = A × B -۱
منظور از 1- B همان معکوس ماتریس B است. بنابراین، در واقع تقسیم مستقیمی بین ماتریسها انجام نمیشود، بلکه ماتریس مورد نظر در معکوس ماتریس دیگر ضرب میشود.
خواص مهم ضرب عدد در ماتریس
توزیعپذیری روی جمع
توزیعپذیری عددها
قانون حذف عدد
برابری در ضرب
ضرب ماتریس سطری در ماتریس ستونی
آشنایی با ماتریسهای سطری و ستونی
در جبر خطی، ماتریسهای سطری و ستونی سادهترین ساختارها را دارند و اساس عملیات پیچیدهتر محسوب میشوند.
۱. ماتریس سطری (Row Matrix)
به ماتریسی که تنها از یک سطر تشکیل شده باشد، ماتریس سطری میگوییم. ابعاد این ماتریس به صورت 1×n نمایش داده میشود که در آن n تعداد ستونها را نشان میدهد. به عنوان مثال، ماتریس A=[۲ -۳ ۵] یک ماتریس سطری ۱×۳ است.
۲. ماتریس ستونی (Column Matrix)
ماتریسی که تنها از یک ستون تشکیل شده باشد، ماتریس ستونی نامیده میشود. ابعاد این ماتریس به صورت m×۱ بیان میشود که در آن m تعداد سطرها را مشخص میکند. برای مثال، ماتریس زیر یک ماتریس ستونی ۳×۱ است:
اگر A یک ماتریس سطری و B یک ماتریس ستونی باشد، به طوری که تعداد ستونهای ماتریس A با تعداد سطرهای ماتریس B برابر باشد، در این صورت ضرب A × B تعریف میشود. برای محاسبه این ضرب، کافی است درایههای متناظر دو ماتریس را در هم ضرب کنیم و سپس حاصل این ضربها را با یکدیگر جمع کنیم. نتیجه این عمل، یک ماتریس ۱ × ۱ یا به بیان سادهتر، یک عدد حقیقی است.
ضرب ماتریس در ماتریس
فرض کنیم A=[a_ ij ] (m×n) و B=[b_ ij ] (n×k) دو ماتریس باشند. حاصلضرب ماتریس A در ماتریس B برابر با ماتریس C=[c _ij ] _(m×k) است که آن را با نماد AB نشان میدهیم. برای حل ضرب ماتریس کافی است به این مثال توجه کنید:
برای حل باید سطر اول از ماتریس A را در ستون اول B ضرب کنیم. در واقع سطر اول ماتریس A را که
1 2 -1
است، با
2 -1 4
ضرب میکنیم و اعداد را منظم کنار هم ضرب میکنیم و سپس همه اعداد را با هم جمع میکنیم تا درایه
c 11
یعنی سطر اول، ستون اول ماتریس
C = A × B
تکمیل گردد.
سپس به سراغ درایه
c 12
میرویم؛ باید سطر اول ماتریس A را با ستون دوم ماتریس B ضرب کنیم.
بعد از آن درایه
C 22
را حساب میکنیم:
با همین روند درایههای
C 31
C 32
را محاسبه میکنیم که حاصل آنها به ترتیب ۱۶ و ۱۳ است.
نکته مهم: حاصل ضرب ماتریس AB با BA برابر نیست، مگر آنکه ماتریسها از نوع همانی، معکوس یکدیگر، صفر، قطری، اسکالر و یا توانهایی از یک ماتریس واحد باشند.
برای تسلط بر ضرب ماتریسها این مثال را به عنوان تمرین در منزل حل کنید.
جمع بندی
ماتریسها آرایههای مستطیلی از اعداد هستند که از سطر و ستون تشکیل شدهاند. اگر عددی در ماتریسی ضرب شود، آن عدد در تکتک درایهها ضرب میشود.
در تقسیم عدد حقیقی بر ماتریس، کافی است آن عدد را معکوس کرده و مانند ضرب عدد در ماتریس عمل کنیم. برای ضرب دو ماتریس، تعداد ستونهای ماتریس اول باید با تعداد سطرهای ماتریس دوم برابر باشد.
حاصلضرب دو ماتریس معمولاً خاصیت جابهجایی ندارد (AB≠BA)، مگر ماتریس از نوع همانی یا معکوس و … باشد.
سوالات متداول
خیر؛ ضرب دو ماتریس تنها زمانی امکانپذیر است که تعداد ستونهای ماتریس اول با تعداد سطرهای ماتریس دوم برابر باشد.
در ضرب عدد، یک مقدار ثابت در تکتک درایهها ضرب میشود، اما در ضرب دو ماتریس، سطرها در ستونها ضرب و با هم جمع میشوند تا درایههای جدیدی به دست آید.
ضرب ماتریسها برخلاف ضرب اعداد معمولی، خاصیت جابهجایی ندارد چون تغییر ترتیب ماتریسها باعث تغییر نحوه ترکیب سطرها و ستونها میشود.
سبحان محمدی
به این مطلب امتیاز دهید